Dalam dunia matematika, notasi ab pangkat 3 bisa memiliki dua interpretasi utama, tergantung pada konteksnya. Pertama, jika 'a' dan 'b' adalah variabel terpisah yang dikalikan terlebih dahulu sebelum dipangkatkan, maka artinya adalah (a * b)3. Kedua, dan yang lebih umum dalam aljabar, notasi ini sering kali merujuk pada penjabaran dari bentuk binomial (a + b)3 atau (a - b)3. Artikel ini akan fokus pada interpretasi kedua yang sering ditemui dalam pembelajaran aljabar, yaitu penjabaran binomial pangkat tiga.
Binomial pangkat tiga adalah ekspresi aljabar yang terdiri dari dua suku (binomial) yang dipangkatkan tiga. Bentuk umumnya adalah (a + b)3 atau (a - b)3. Memahami cara menjabarkan bentuk-bentuk ini sangat penting karena sering muncul dalam berbagai perhitungan matematika, mulai dari penyelesaian persamaan kuadrat hingga topik kalkulus yang lebih lanjut. Penjabaran ini memungkinkan kita untuk mengubah bentuk yang lebih ringkas menjadi bentuk yang lebih panjang dan mudah diolah.
Terdapat dua rumus utama untuk penjabaran binomial pangkat tiga:
Rumus untuk menjabarkan (a + b)3 adalah sebagai berikut:
Mari kita pahami setiap suku dalam penjabaran ini:
Pola koefisien (1, 3, 3, 1) pada penjabaran ini adalah bagian dari Segitiga Pascal. Untuk pangkat tiga, baris ketiga dari atas (dimulai dengan pangkat nol) adalah 1, 3, 3, 1.
Untuk penjabaran binomial dengan tanda minus, polanya sedikit berbeda dalam hal tanda:
Perhatikan perubahan tanda:
Pola tanda bergantian: positif, negatif, positif, negatif.
Rumus-rumus ini dapat dibuktikan dengan perkalian berulang. Misalnya, untuk (a + b)3:
(a + b)3 = (a + b) * (a + b) * (a + b)
Pertama, kita jabarkan (a + b) * (a + b) yang menghasilkan (a2 + 2ab + b2). Kemudian, kita kalikan hasil ini dengan (a + b) lagi:
(a2 + 2ab + b2) * (a + b)
Dengan melakukan distributif pada setiap suku:
= a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)
= (a3 + 2a2b + ab2) + (a2b + 2ab2 + b3)
Terakhir, kita gabungkan suku-suku sejenis:
= a3 + (2a2b + a2b) + (ab2 + 2ab2) + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Proses serupa dapat dilakukan untuk membuktikan rumus (a - b)3.
Memahami rumus saja tidak cukup. Mari kita lihat beberapa contoh soal untuk mengaplikasikan pemahaman kita:
Jabarkan ekspresi (x + 2)3.
Dalam kasus ini, a = x dan b = 2.
Menggunakan rumus (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3:
Jawaban:
(x + 2)3 = x3 + 3(x)2(2) + 3(x)(2)2 + 23
= x3 + 3(x2)(2) + 3(x)(4) + 8
= x3 + 6x2 + 12x + 8
Jabarkan ekspresi (3y - 1)3.
Di sini, a = 3y dan b = 1.
Menggunakan rumus (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3:
Jawaban:
(3y - 1)3 = (3y)3 - 3(3y)2(1) + 3(3y)(1)2 - 13
= 27y3 - 3(9y2)(1) + 3(3y)(1) - 1
= 27y3 - 27y2 + 9y - 1
Hitung nilai dari 1013 tanpa menggunakan kalkulator secara langsung untuk perpangkatan tiga.
Kita bisa menulis 101 sebagai (100 + 1). Jadi, kita menggunakan rumus (a + b)3 dengan a = 100 dan b = 1.
Jawaban:
1013 = (100 + 1)3
= 1003 + 3(100)2(1) + 3(100)(1)2 + 13
= 1.000.000 + 3(10.000)(1) + 3(100)(1) + 1
= 1.000.000 + 30.000 + 300 + 1
= 1.030.301
Contoh ini menunjukkan bagaimana rumus binomial pangkat tiga dapat menyederhanakan perhitungan angka yang besar.
Konsep ab pangkat 3, terutama dalam bentuk penjabaran binomial (a + b)3 dan (a - b)3, adalah alat fundamental dalam aljabar. Dengan memahami dan menghafal rumus penjabarannya, kita tidak hanya dapat menyederhanakan ekspresi yang kompleks tetapi juga mempermudah perhitungan numerik. Penguasaan materi ini akan sangat membantu dalam studi matematika lebih lanjut.