Dalam dunia matematika, khususnya dalam studi geometri analitik dan aljabar vektor, konsep koordinat titik memegang peranan fundamental. Koordinat memberikan cara untuk merepresentasikan posisi suatu objek dalam ruang secara unik. Ketika kita berbicara tentang ruang tiga dimensi, sebuah titik biasanya direpresentasikan oleh tiga nilai, yaitu koordinat x, y, dan z. Artikel ini akan membahas secara mendalam mengenai bagaimana memahami koordinat titik, dengan fokus pada contoh titik A yang memiliki koordinat (5, 4, 1), dan bagaimana konsep ini berlanjut ketika kita membahas vektor yang dibentuk dari titik tersebut, misalnya vektor AB.
Bayangkan sebuah sistem sumbu kartesius tiga dimensi yang saling tegak lurus. Sumbu-sumbu ini adalah sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z. Titik asal (0,0,0) adalah titik di mana ketiga sumbu tersebut berpotongan. Setiap titik di dalam ruang ini dapat diidentifikasi secara unik dengan menentukan jaraknya sepanjang sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z dari titik asal. Koordinat titik ditulis dalam bentuk (x, y, z).
Dalam kasus kita, titik A memiliki koordinat (5, 4, 1). Ini berarti bahwa untuk mencapai titik A dari titik asal:
Ilustrasi sederhana representasi titik A(5, 4, 1) dalam ruang 3D.
Konsep vektor erat kaitannya dengan titik. Sebuah vektor dapat didefinisikan sebagai ruas garis berarah yang memiliki besar (panjang) dan arah tertentu. Vektor seringkali digunakan untuk merepresentasikan perpindahan, kecepatan, gaya, dan banyak besaran fisik lainnya yang memiliki arah.
Jika kita memiliki dua titik, misalnya titik P dengan koordinat (x1, y1, z1) dan titik Q dengan koordinat (x2, y2, z2), maka vektor yang menghubungkan P ke Q, yang dilambangkan sebagai PQ, dapat dihitung dengan mengurangkan koordinat titik Q dengan koordinat titik P. Secara matematis, vektor PQ dinyatakan sebagai:
Dalam konteks studi kasus kita, jika titik A memiliki koordinat (5, 4, 1) dan kita tertarik pada vektor yang dimulai dari A menuju titik lain, katakanlah titik B, maka kita memerlukan koordinat titik B untuk menentukan vektor AB. Misalkan titik B memiliki koordinat (x_b, y_b, z_b).
Maka, vektor AB akan dihitung sebagai:
Ini berarti bahwa komponen-komponen vektor AB merepresentasikan perubahan posisi dari titik A ke titik B. Komponen pertama (x_b - 5) menunjukkan pergeseran sepanjang sumbu-x, komponen kedua (y_b - 4) menunjukkan pergeseran sepanjang sumbu-y, dan komponen ketiga (z_b - 1) menunjukkan pergeseran sepanjang sumbu-z.
Memahami vektor AB sangat penting dalam berbagai aplikasi. Jika A dan B merepresentasikan dua lokasi yang berbeda, maka vektor AB dapat memberitahu kita:
Sebagai contoh, jika titik B memiliki koordinat (8, 6, 3), maka vektor AB adalah:
Ini berarti untuk berpindah dari A ke B, kita perlu bergerak 3 unit ke arah positif sumbu-x, 2 unit ke arah positif sumbu-y, dan 2 unit ke arah positif sumbu-z. Panjang vektor AB adalah √(3² + 2² + 2²) = √(9 + 4 + 4) = √17.
Dengan demikian, pemahaman yang kuat tentang koordinat titik seperti A(5, 4, 1) adalah langkah awal yang krusial dalam memahami dan menghitung berbagai besaran vektor, termasuk vektor AB, yang esensial dalam pemodelan matematis dan fisika.